Zusammenhangsmaße verstehen und anwenden + Beispiele

Veröffentlicht am 13. August 2020 von Valerie Benning. Aktualisiert am 2. Dezember 2022.

Zusammenhangsmaße werden verwendet, um die Stärke eines statistischen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen anzugeben.

Einige Zusammenhangsmaße geben darüber hinaus auch Auskunft über die Richtung des Zusammenhangs.

Welches Zusammenhangsmaß du verwenden kannst, hängt vom Skalenniveau deiner Daten ab.

Beispiel

Wir wollen den Zusammenhang zwischen der Entfernung zwischen Wohn- und Arbeitsort und der Dauer des Arbeitsweges bestimmen. Wir haben also metrische Daten vorliegen und bestimmen daher als Zusammenhangsmaß den Korrelationskoeffizienten nach Pearson.

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Zusammenhangsmaße richtig anwenden

Die folgende Übersicht zeigt dir, bei welchem Skalenniveau du die verschiedenen Zusammenhangsmaße verwenden kannst und welche Formel du zur Bestimmung des Zusammenhangs benötigst.

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Nominale Daten

Bei nominalen Daten können wir den Chi-Quadrat-Wert und daraus Cramers V und den Kontingenzkoeffizienten bestimmen, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen anzugeben.

Chi-Quadrat

$\chi^2 = \sum^m _{i=1}\sum^k _{j=1}{\frac {(n_{ij} - \tilde{n}_{ij})^2}{\tilde{n}_{ij}}}$
$\chi^2$	Chi-Quadrat
$m$	Gesamtanzahl der Zeilen
$k$	Gesamtanzahl der Spalten
$n_{ij}$	absolute Häufigkeit der Merkmalskombination in i-Zeile und j-Spalte (beobachteter Wert)
$\tilde{n}_{ij}$	erwarteter Wert der absoluten Häufigkeit der Merkmalskombination in i-Zeile und j-Spalte

Die Formel vereinfacht in Worten:

$\chi^2 = \sum{\frac {(beobachteter - erwarteter\,Wert)^2}{erwarteter\,Wert}}$

Cramer‘s V

$V = \sqrt{\dfrac{{x^2}}{n * (M-1)}}$
$V$	Cramers V
$\chi^2$	Chi-Quadrat
$n$	Gesamtanzahl (der Stichprobe)
$M$	$M = min\,(k,m)$ die kleinere der beiden Zahlen für die Zeilenanzahl (m) und die Spaltenanzahl (k) in der Kreuztabelle

Kontingenzkoeffizient

$K^P=\sqrt{\frac{\chi^2}{n+\chi^2}*\frac{M}{M-1}}$
$K^P$	Kontingenzkoeffizient nach Pearson
$\chi^2$	Chi-Quadrat
$n$	Gesamtanzahl (der Stichprobe)
$M$	$M = min\,(k,m)$ die kleinere der beiden Zahlen für die Zeilenanzahl (m) und die Spaltenanzahl (k)

Beispiel nominales Skalenniveau

Wir wollen den Zusammenhang zwischen der Wahl der Studienrichtung und dem Geschlecht der Studierenden bestimmen. Dazu haben wir 250 Personen von drei verschiedenen Studienrichtungen, nämlich Jura, Naturwissenschaften (NW) und Sozialwissenschaften (SW) befragt und folgende Antworten erhalten:

	Jura	NW	SW	Summe (Zeile)
Weiblich	38	35	57	130
Männlich	32	45	43	120
Summe (Spalte)	70	80	100	250

Zunächst bestimmen wir den Chi-Quadrat-Wert und wandeln diesen dann in den Kontingenzkoeffizienten um.

In unserem Beispiel haben wir ein Chi-Quadrat von χ² = 3.69.
$\chi^2= \sum^m _{i=1}\sum^k _{j=1}{\frac {(n_{ij} - \tilde{n}_{ij})^2}{\tilde{n}_{ij}}} \\ = \frac {4}{36}+\frac {4}{34}+\frac {49}{42}+\frac {49}{38}+\frac {25}{52}+\frac {25}{48} \\ = 3.69$
Dann setzen wir den Chi-Quadrat-Wert in die Formel für den Kontingenzkoeffizienten nach Pearson ein.

In der Formel steht M für die kleinere der beiden Anzahlen an Zeilen und Spalten. In unserem Beispiel haben wir zwei Zeilen (Geschlecht: männlich/weiblich) und drei Spalten (Studienrichtung: Jura/Naturwissenschaften/Sozialwissenschaften), also setzen wir M = 2 ein.

$K^P=\sqrt{\frac{\chi^2}{n+\chi^2}*\frac{M}{M-1}}=\sqrt{\frac{3.69}{250+3.69}*\frac{2}{2-1}}=0.17$

Ordinale Daten

Bei ordinalen Daten bestimmen wir den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen anzugeben.

$\varrho=1-\frac{6\sum^n_{i=1} (R_{xi} - R_{yi})^2}{n(n^2-1)}$
$\varrho$ oder $r_{sp}$	Rangkorrelationskoeffizient
$R_{xi}$	Rang für Fall i in der geordneten Datenreihe für Variable 1
$R_{yi}$	Rang für Fall i in der geordneten Datenreihe für Variable 2
$n$	Gesamtanzahl der Fälle

Beispiel ordinales Skalenniveau

Wir haben acht Studierende nach ihren Abiturnoten in den Fächern Deutsch und Englisch gefragt und wollen nun den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen bestimmen.

Person	1	2	3	4	5	6	7	8
Punkte in Deutsch	14	8	11	6	15	13	7	9
Punkte in Englisch	11	15	8	10	13	12	9	14

Dazu berechnen wir den Rangkorrelationskoeffizienten in fünf Schritten.

Wir vergeben jeweils die Ränge 1–8 für die Punkte in den Fächern Deutsch und Englisch.

Person	Punkte in Deutsch	Rang	Punkte in Englisch	Rang
1	14	2	11	5
2	8	6	15	1
3	11	4	8	8
4	6	8	10	6
5	15	1	13	3
6	13	3	12	4
7	7	7	9	7
8	9	5	14	2

Wir berechnen für jeden Fall einzeln die Differenz zwischen den Rängen der Noten. Anschließend quadrieren wir das Ergebnis.

Person	$R_{xi}-R_{yi}$	$(R_{xi}-R_{yi})^2$
1	2 – 5 = – 3	(-3)2 = 9
2	6 – 1 = 5	52 = 25
3	4 – 8 = – 4	(-4)2 = 16
4	8 – 6 = 2	22 = 4
5	1 – 3 = – 2	(-2)2 = 4
6	3 – 4 = – 1	(-1)2 = 1
7	7 – 7 = 0	02 = 0
8	5 – 2 = 3	32 = 9

Wir addieren die Ergebnisse aus Schritt 2 und multiplizieren die Summe mit 6.

Wir setzen die Gesamtanzahl der untersuchten Fälle (n = 8) in ein.

Wir setzen alle Ergebnisse aus den Schritten 1–4 in die Formel ein:

Als Ergebnis erhalten wir ρ = 0.19. Daraus können wir ablesen, dass es einen positiven Zusammenhang zwischen den Punktzahlen in den Fächern Deutsch und Englisch gibt, dieser allerdings nicht sehr stark ist.

Metrische Daten

Bei metrischen Daten können wir die Kovarianz und (daraus) den Korrelationskoeffizienten bestimmen, um den Zusammenhang zwischen zwei Variablen anzugeben.

Kovarianz


s_xy	Kovarianz der Variablen x und y
s_x	Standardabweichung der Variable x
s_y	Standardabweichung der Variable y
r	Korrelationskoeffizient (nach Bravais)

Korrelationskoeffizient nach Pearson (r)


r	Korrelationskoeffizient
x_i	Beobachtungswerte der Variable x
y_i	Beobachtungswerte der Variable y
	Arithmetisches Mittel aller Werte von x
	Arithmetisches Mittel aller Werte von y
N	Gesamtanzahl
s_xy	Kovarianz der Variablen x und y
s_x	Standardabweichung der Variable x
s_y	Standardabweichung der Variable y

Beispiel metrisches Skalenniveau

Wir haben acht Personen nach der Entfernung zwischen ihrem Wohn- und Arbeitsort und der Dauer ihres Arbeitsweges gefragt und wollen nun den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen bestimmen.

Person	1	2	3	4	5	6	7	8
Entfernung Wohnort – Arbeitsplatz in km	18	2	42	14	22	35	45	8
Dauer des Arbeitsweges in min	22	10	53	30	25	36	45	13

Dazu berechnen wir zunächst die Kovarianz und erhalten ein Ergebnis von s_xy= 222.93, was bedeutet, dass ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Variablen „Entfernung” und „Dauer” besteht.

Im Artikel zur Kovarianz findest du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung dieses Wertes.

Außerdem haben wir über die Formel der Standardabweichung folgende Werte bestimmt:

s_x = 15.86
s_y = 14.95

Um die Stärke des Zusammenhangs mit anderen Zusammenhangsmaßen vergleichen zu können, berechnen wir aus der Kovarianz den Korrelationskoeffizienten:

Die Korrelation zwischen den beiden Variablen „Entfernung” und „Dauer” beträgt r = 0.94.